根据您的描述，不满16周岁的未成年人入室盗窃4000元，并且已经自首。根据我国刑法的规定，不满16周岁的未成年人不负刑事责任，但可以责令其家长或者监护人加以管教；必要的时候，也可以由政府收容教养。因此，该未成年人不会被追究刑事责任，但可能会受到其他形式的处罚。

根据《中华人民共和国刑法》第十七条的规定，已满十四周岁不满十六周岁的人，犯故意杀人、故意伤害致人重伤或者死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、放火、爆炸、投放危险物质罪的，应当负刑事责任。除此之外，已满十四周岁不满十六周岁的人不负刑事责任。因此，该未成年人不会被追究刑事责任，但可能会受到其他形式的处罚。

LFA小编建议建议您尽快联系律师，了解具体情况，并根据律师的建议采取相应的措施。同时，建议您加强对未成年人的教育和监管，避免类似事件再次发生。

相关法条1.《中华人民共和国刑法》第十七条

2.《最高人民法院关于审理未成年人刑事案件具体应用法律若干问题的解释》第九条

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1.（2014）兴刑终字第223号:钱某某盗窃案二审刑事裁定书

2.（2014）湘刑初字第242号:瞿某盗窃罪一案一审刑事判决书

3.（2018）辽1002刑初108号:刘XX盗窃一审刑事判决书

4.（2017）湘0624刑初188号:瞿某盗窃罪一审刑事判决书

5.（2014）娄星刑初字第579号:李某盗窃罪一审刑事判决书