一旦未成年人打人行为构成犯罪，如故意伤害罪，那么其法律责任将更为严重。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定，故意伤害他人身体的，将处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。然而，对于未成年人而言，其刑罚的执行通常会考虑其年龄、犯罪情节、悔罪表现以及再犯可能性等因素，进行适度的从轻、减轻或者免除处罚。此外，根据《中华人民共和国未成年人保护法》的相关规定，对未成年罪犯的教育、感化、挽救方针应贯穿于整个司法程序中，确保其在受到法律制裁的同时，也能得到必要的帮助和改造。

相比之下，成年人打人构成犯罪时，其法律责任将更加严厉。除了可能面临有期徒刑、拘役或者管制等刑罚外，还可能涉及民事赔偿等责任。此外，由于成年人具有完全的民事行为能力，其在接受法律制裁时，也需自行承担相应的法律后果。

在处理未成年人打人事件时，我们应遵循教育为主、惩罚为辅的原则。首先，应尽快对受害者进行救治和心理安抚，确保其身心健康得到保障。